Занимаюсь познанием теоретической физики на досуге и вот очередной этап с вопросами, на которые уже точно есть ответы, но я до них ещё не докопался.
При вычислении энергии вакуума электромагнитного поля возникает такая расходимость:
E = Σℏω,
где предполагается суммирование по всем без исключения до бесконечности частотам.
В этом месте, например, в соответствующем томе Ландау-Лифшица пишется так:
"Таким образом, мы сталкиваемся с одной из «расходимостей», к которым приводит отсутствие полной логической замкнутости существующей теории."
Поступить же предлагается следующим образом:
"Пока речь идет лишь о собственных значениях энергии поля, можно устранить эту трудность простым вычеркиванием энергии нулевых колебаний."
Или переопределить оператор H таким образом, чтобы этого хвостика не было - фактически тоже просто отбросить эту "бесконечность".
Такое положение дел мне представляется логически непоследовательным. И тут надо бы перейти к рассмотрению частоты самой по себе, которую надлежит выразить через длину волны:
E = 2πℏc Σ(1/λ)
А дальше нужно действовать в зависимости от представлений о Вселенной.
Само по себе представление в виде суммы для энергии появляется как следствие рассмотрения ограниченного объёма. Но это приложимо ко Вселенной только в том случае, если она имеет ограниченный размер. Тогда частоты определяются количеством полуцелых длин волн, укладывающихся в размер вселенной (пусть размер во всех направлениях будет одинаков L и добавим коэффициент 3 для трёхмерной в пространстве Вселенной):
E = 2πℏc Σ(1/λ) = (3πℏc/L) Σn
Сумма натурального ряда это... бесконечность?
Хм... Так и пишется в Ландау-Лившице (и не только).
Но тут имеется представление о разбиении поля на независимые осцилляторы, соответствующие разной частоте, для каждого из которых и нужно по очереди взять энергию вакуума и сложить вместе.
А ведь именно это и не совсем так. Нам нужно взять сумму не по очереди, а определить вакуумную энергию сразу для всех состояний. Предельного перехода просто нет - это сразу сумма до бесконечности всего ряда. Такая сумма - это дзета-функция в точке -1 и она равна... -1/12:
E = (3πℏc/L) Σn = (3πℏc/L) ζ(-1) = - πℏc/4L < 0
Повод ли это из экспериментальных данных определить размер Вселенной? Наверное это бы уже сделали. Таки кроме электромагнитного есть и прочие поля - надо смотреть что там как с ними и вообще. В общем-то, переход к пределу бесконечной Вселенной обеспечивает обращение в ноль вакуумной энергии и не надо её просто отбрасывать. Но тут же повод спросить - а определяется ли чем-то глобальным (скажем, топологией Вселенной) значение аргумента для дзета-функции (в нашем случае плоская Вселенная и значение -1)?
Занимательно, однако, что величина отрицательная. Если рассмотреть ранние этапы развития всё таки конечной Вселенной маленького размера - получается очень большая по модулю отрицательная энергия - такая энергия вызывает "антигравитацию" и расширение Вселенной. Это ли причина инфляционного расширения, которое потом замедлилось из-за того, что Вселенная уже слишком велика стала?
Если обратиться к случаю всё таки бесконечной Вселенной, то с одной стороны, конечно, должна быть не сумма, а интеграл. Но мы на это пока закроем глаза. Вспомним, однако, что есть представления, согласно которым таки имеется элементарная длина - длина планка lp - которая в нашем случае ограничивает минимальный размер длины волны и спектр - все длины волн должны быть ей кратны (снова вспомним про трёхмерность и допишем коэффициент 3):
E = 2πℏc Σ(1/λ) = (6πℏc/lp) Σ(1/n)
Так у нас появляется другая бесконечная сумма - сумма гармонического ряда. Перед суммой - планковская энергия Ep, составляющая ~1,956*10^9 Дж - исчезающе малая величина, если её размазывать по всей Вселенной (тем более, что мы посчитали её бесконечной, а потому плотность энергии таки нулевая).
Гармонический ряд - чуть посложнее. Да, формально, это ζ(1), но вот беда - для дзета-функции тут особенность, уходящая в +∞. Однако не всё потеряно и в некотором смысле и эта сумма сходится к постоянной Эйлера — Маскерони γ = 0,5772...:
E = (6πℏc/lp) Σ(1/n) = 6Epγ = 6.774*10^9 Дж > 0
Занимательно получается, что в зависимости от предположения об устройстве Вселенной получается очень разный результат - для конечной Вселенной размера L энергия вакуума отрицательна и может её раздувать, а для бесконечной, но с минимальным расстоянием lp - положительна и постоянна.
Если же принять оба положения - Вселенная размера L и минимальный размер lp, то просто рассматриваемая сумма частот оказывается по конечному числу слагаемых - от минимальной частоты, для которой пол длины волны и есть размер L, до максимальной частоты, для которой пол длины волны и есть размер lp. Да, получится какое-то очень большое число - может это и есть то самое "худшее предсказание теоретической физики" об энергии вакуума? Или там ограничивают частоты энергиями, когда уже могут рождаться электрон-позитронные пары и вообще со всеми прочими полями частиц всё становится намного сложнее? Хотя факт рождения пар из реальных фотонов такой энергии, на поверхностный взгляд, ещё не означает, что для вакуумной энергии соответствующей частоты должно происходить тоже самое...
В заключение замечу, что подход с использованием дзета-функции, на сколько я понимаю, применяется и далее для так называемой перенормировки. Но до этих областей я пока не добрался. А потому мне пока неясно - почему нужно здесь просто отбрасывать бесконечную сумму, если при углублении в теорию к этому вопросу возвращаются именно в форме применения дзета-функции?