Больше года назад я писал пост (https://vk.com/wall12472394_3696) об эквивалентности кватовой механики частиц и неквантовой механики полей, где в частности задавался вопросом неквантовой механике чего может быть эквивалентна квантовая механика полей (квантовая теория поля). Но кроме того я также задавался вопросом: существуют ли сверхконтинуальные числа? И кое-что сегодня в душе пришло мне в голову.
Счётное множество это такое, которому можно поставить в соответствие множество натуральных чисел - буквально пересчитать (пусть и до бесконечности, если потребуется) все его элементы.
Континуальное множество можно построить, как множество всех подмножеств счётного (бесконечного) множества. Его не пересчитать множеством натуральных чисел, но можно "пересчитать" - т.е. поставить в соответствие - множеством вещественных чисел.
А что же с первым сверхконтинуальным множеством - множеством всех подмножеств континуального множества? Какими сверхконтинуальными числами его "пересчитать"?
У меня нет строгих доказательств нижесказанному - только интуитивное понимание.
Представим себе привычную десятичную запись вещественного числа. Она состоит из счётного множества цифр. Конечного для натуральных и части рациональных и бесконечного для части рациональных, но главное - для иррациональных, которые и заполняют континуально промежутки между счётными рациональными. При смене основания системы счисления - т.е. некоторой выборки счётных натуральных чисел - запись рациональных чисел может становиться конечной или бесконечной - например 0,333... для десятичной записи трети 1/3 и 0,1 для троичной. Но запись иррациональных числа континуума всегда потребует бесконечного числа цифр. Получается, что буквально континуальные вещественные числа это всевозможные выборки из счётных натуральных чисел в некоторой системе счисления - в том числе и бесконечные счётные выборки для иррациональных и части рациональных чисел. Построим по такой же схеме сверхконтинуальные числа.
Континуальное вещественное число это некоторая счётная (в общем виде бесконечная) комбинация с повторениями счётных чисел из счётного их подмножества.
Сверхконтинуальное число это некоторая континуальная (в общем виде бесконечная) комбинация с повторениями континуальных чисел из континуального их подмножества.
Например, системой счисления сверхконтинуального числа можно выбрать континуальное подмножество континуальных чисел в виде закрытого интервала 0, 1. Само сверхконтинуальное число тогда можно представить как некоторый интервал или объединение интервалов (в том числе вырожденных в точку) на континуальном множестве вещественных чисел (в общем виде - вообще любое подмножество), в каждой точке которого (которых) определено значение от 0 до 1.
Похоже на множество всех функций, правда?
Со всевозможными областями определения, многозначных, с областью значений, ограниченной "системой счисления" (для примера выше это 0, 1).
Вернёмся немного к вопросам механики?
Кажется, тот самый переход к сверхконтинуальным объектам, о котором я спрашивал в предыдущем посте, это и есть переход от функций к "функции на функциях" - т.е. к операторам.
Финита ля комедия! Нобелевская премия по физике отменяется )
Или... как там на счёт углубления степени квантования путём перехода к "ещё более сверх-" континуальным объектам?